影響線

科目名：鋼構造学（2020年度版）第05回
作成日：2020年11月01日(日)
更新日：2020年11月11日(水)
作成者：山本亨輔（筑波大学・システム情報系・助教）

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　土木工学分野では，橋梁上を車両が通過する場合などが想定できます．この時，荷重は梁の上を移動します．従って，構造設計においては，荷重位置を変化させながら最大の断面力を求める必要があります．この計算に便利な道具として，影響線を学びます．

目次

1. 解説
　1.1 反力の影響線
　1.2 断面力の影響線
　1.3 断面力図との影響線図の違い
2. 影響線の応用
　1.1 WIMの利用
　1.2 座屈荷重

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1. 解説

　影響線とは，移動荷重に対してある点に生じる物理量の大きさを，移動荷重の位置関数で表したものです．反力や断面力，変形量の影響線を考えることが出来ます．土木構造物の場合，橋を通過する車のように移動荷重を想定する場合が多いため，影響線を用いて構造設計を行う場合が多くあります．

　構造設計で最も問題となるのは断面力（せん断力や曲げモーメント）です．例題を確認しましょう．

例題1
長さ\(L\)の梁の中点を\(\mathrm C\)とする．点\(\mathrm C\)における荷重\(\textcolor{#FF0000}{P}\)のせん断力と曲げモーメントの影響線を求めよ．

1.1 反力の影響線

　点\(\mathrm A\)における反力を\(\textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm A}}\)，点\(\mathrm B\)における反力を\(\textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm B}}\)とします．全体系の力のつりあい式は， \begin{eqnarray} \textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm A}}+\textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm B}}-\textcolor{#FF0000}{P}=0 \\ L\times\textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm B}}-x\times\textcolor{#FF0000}{P}=0 \end{eqnarray} と書けます．これを解くと，反力\(\textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm A}}\)，\(\textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm B}}\)は荷重の位置\(x\)に関する関数として求められます． \begin{eqnarray} \textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm A}}&=&\frac{\textcolor{#FF0000}{P}\left(L-x\right)}{L} \\ \textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm B}}&=&\frac{\textcolor{#FF0000}{P}x}{L} \end{eqnarray}

　これをグラフ化したものを反力の影響線と言います．

1.2 断面力の影響線

　点\(\mathrm C\)に作用するせん断力\(\textcolor{#0070C0}{V}\)と曲げモーメント\(\textcolor{#0070C0}{M}\)を考えます．せん断力\(\textcolor{#0070C0}{V}\)は\(\textcolor{#FF0000}{P}\)の位置\(x\)によって \begin{equation} \textcolor{#0070C0}{V}= \left\{ \begin{array}{lc} \textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm A}}-\textcolor{#FF0000}{P} &\left(0\leq x \leq L/2\right) \\ \textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm A}} &\left(L/2\leq x \leq L\right)\\ \end{array} \right. \end{equation} と書けます（図3-1，図3-3）．一方で，曲げモーメント\(\textcolor{#0070C0}{M}\)も同様に， \begin{equation} \textcolor{#0070C0}{M}= \left\{ \begin{array}{lc} \frac{L}{2}\times\textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm A}}-\left(\frac{L}{2}-x\right)\times\textcolor{#FF0000}{P} &\left(0\leq x \leq L/2\right) \\ \frac{L}{2}\times\textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm A}} &\left(L/2\leq x \leq L\right)\\ \end{array} \right. \end{equation} と書けます（図3-2，図3-4）．

　式(5)，式(6)に式(3)（\(\textcolor{#0070C0}{R_{\mathrm A}}\)を\(x\)の式で表したもの）を代入すると， \begin{eqnarray} \textcolor{#0070C0}{V(\textcolor{#000000}{x})}= \left\{ \begin{array}{lc} -\frac{\textcolor{#FF0000}{P}x}{L} &\left(0\leq x \leq L/2\right) \\ \frac{\textcolor{#FF0000}{P}\left(L-x\right)}{L} &\left(L/2\leq x \leq L\right)\\ \end{array} \right. \\ \textcolor{#0070C0}{M(\textcolor{#000000}{x})}= \left\{ \begin{array}{lc} \frac{\textcolor{#FF0000}{P}x}{2} &\left(0\leq x \leq L/2\right) \\ \frac{\textcolor{#FF0000}{P}\left(L-x\right)}{2} &\left(L/2\leq x \leq L\right)\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} を得ます．これをグラフ化すると図4のようになります．

1.3 断面図と影響線図の違い

　これまで学んできたせん断力図・曲げモーメント図などの断面力図と，新たに今回学んだ影響線図は似ているために混同しがちです．前者は横軸の\(x\)が切断面位置を表していたのに対し，後者では荷重位置を表していることに注意しましょう．

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