Abstract
連続体力学に基づく数値解析手法として広く利用される有限要素法（FEM）は，全体直交座標系に基づいて系全体を微小要素に離散化し，全体方程式にまとめて解を求める汎用手法である．そのため，各要素の情報が並列的に取り扱われ，系の構造の複雑さ如何に関わらず，節点力や変位・ひずみ等の算出が可能となる．この特長を利用し，リンクの形態に依存せずに逆動力学が計算可能な並列的解法が開発された．従来の手法の一つ，ニュートン・オイラー法が相対回転座標系に基づいて再帰的な処理により動力学方程式を求める直列的なアプローチをとるのに対し，離散化方程式から全関節トルクを一気に求める本解法は，並列的なアプローチをとると言える．本解法では，動的な効果を含めた各節点力から，力学的な関係に基づいて各関節トルクが算出される．また，従来の動力学方程式が全ての成分が混在した形をとるのに対し，本解法のトルク算出式は，力の次元に関する成分，座標変換に関する成分，長さの次元に関する成分ごとのマトリクスに分離される．そのため，柔軟性・拡張性に富み，機構構造が複雑な場合や制御の途中で構造が変化する場合にも，入力データの変更のみで対応できる．これより，従来の逆動力学計算法では困難であった閉ループ系や，連続的に開から閉ループ系などへと形態が移行する機構に対する逆動力学計算，さらにこれらの機構のフィードフォワード制御などが，動力学方程式や計算アルゴリズムを変更することなく実行可能となった．ロボットの動作のさらなる高速化が求められている現状において，これは非常に重要な意義を持つものである．
他方，ロボット機構がタスクを行う際のエネルギ消費量の削減やロボット自体のコスト削減を目的として，機構のさらなる軽量化の必要性が高まっている．しかし，部材の軽量化はリンク剛性の低下を招き，機構内に発生する弾性たわみや曲げ振動が無視できなくなるという問題が生じる．この問題は，機構を完全剛体と仮定して設計することが多い現状において，その制御を非常に困難なものとする要因の一つとなっている．そのため，弾性たわみを考慮したロボットアームのモデル化や逆動力学計算などの研究も盛んに行われている．しかし，従来の動力学方程式ではトルクの次元で求解するため，変数分離された形をとらず，さらにそれに加えて弾性たわみの影響を考慮する必要がある．したがって，その逆動力学計算には大変複雑な処理を要する．一方，前述の並列的解法では，動的な効果を含めた節点力を求めれば全関節トルクが算出されるため，剛体リンク系と柔軟リンク系との間では，その計算アルゴリズム自体に相違が無い．この特徴を利用して，並列的逆動力学計算法に対し，有限要素によって弾性たわみを考慮した軌道計算アルゴリズムを付加することで，柔軟リンク系に対しても適用可能な解法が開発された[7]．また，軌道計算と逆動力学計算を同一モデルで行うことにより，リンク機構に任意のタスクを与えた場合に，その軌道の算出から必要な関節トルクの算出までの過程を包括的に一つのアルゴリズムとして扱うことが可能になった．
本報告では，文献の軌道計算アルゴリズムに対し，Bernoulli-Eulerの理論に基づく3次はり要素を導入して曲げ変形精度を高め，計算のさらなる高速化を図った．さらに，実機による検証を行い，アルゴリズムの有効性を検証した．
In this paper, a scheme using the Finite Element Method (FEM) for calculating trajectories of flexible manipulators is proposed. The trajectories are required in inverse dynamics calculation using the formerly developed parallel solution scheme, where the inverse dynamics can be easily calculated regardless of the rigidity or the connectivity of the constituting link members. The proposed scheme is formulated based upon the principle of virtual work in consideration of motion of the entire system, by dividing nodal displacements into values of operation distance and deformation. It enables us to discuss on forces generated by rotational motions. The cubic beam element based on the Bernoulli-Euler hypothesis is used for modeling link members in order to improve accuracy against elastic bending deformation. In this paper, some numerical tests and experiments are carried out on a simple flexible link system, and the results are compared to show the validity of the proposed scheme.